Matemáticas para qué... si ya se las cocino yo

La historia que paso a relataros comienza hace unos días cuando recibo un correo de un ex-alumno mío preguntándome por la solución de una ecuación de tercer grado, vamos lo que podría ser

\[
 x^3+a x^2+b x+c=0
\]
Me extrañó semejante problema en un estudiante que está cursando el cuarto semestre de un estudios de ingeniría, enfocados al diseño industrial, pero vamos, ingeniería al fin y al cabo.

Le comenté que no entendía muy bien por qué necesitaba resolver tal problema y le pregunté si estaba interesado en soluciones exactas o numéricas. Para la soluciones analíticas, existe una fórmula, debida a Cardano (en realidad es de Tartaglia, pero esto es otra historia) algo engorrosa. Me dijo que exacta, sí o sí, y que en su descripción se había metido el profesor. Le referí tal fórmula y tal y como la conozo yo, a saber

a) Mediante el cambio de variable $z=x-a/3$ uno reduce a una nueva ecuación de la forma

\[
z^3+pz +q=0
\]
donde $p$ y $q$ son apropiados

b) Para una ecuación como la anterior, $ z^3+pz +q=0$, una raíz se puede encontrar vía la fórmula

\[
z= u-\frac{p}{3u}, \quad u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\frac{q^{2}}{4}}}
 \]

c) Por tanto, una raíz de la ecuación original es x=z+a/3.  El resto de raíces se puede obtener mediante movimientos en el plano complejo (se trata de utilizar cualquiera de las tres raíces cúbicas) o más diréctamente utilizando Rufini que reduce la ecuación original de tercer grado a una bicuadrada cuadrática (vamos, de grado 2).

El proceso es en efecto algo complicado, y de hecho el porqué la fórmula funciona aun cuándo no debería (raíces complejas) justificó eventualmente la introducción y el trabajo con los números complejos (el origen de los números complejos no tiene nada que ver con las soluciones no reales de la ecuación de segundo grado; tales raíces se consideraban irrelevantes).

No es esto lo que me ocupa, en cualquier caso.  Resolver analíticamente este tipo de problemas tiene un interés muy discutido, por decirlo suavemente, en nuestros días.

Hoy he hablado personalmente con el alumno. Me ha explicado de donde le venía el problema: de hacer un determinante de una matriz y cuando he leído los detalles se han confirmado mis peores sospechas. Esto surge en problema de materiales, y, dejando aparte el problema físico-ingenieril en sí, era tratar una matriz simétrica similar a esta

\[
A=\begin{bmatrix} -15 &-30& 15\\ -30& 30& -30\\ 15 &-30& -15\end{bmatrix}
\]
y calcular sus valores propios, que son -30 (dos veces) y 60. Estos problemas, matemáticos,  los hemos planteado y resuelto en clase, en Matemáticas II, en Álgebra Lineal, donde hemos estudiado la diagonalización de matrices. Hicimos además especial hincapié en el caso ejemplar, ideal me atravería a decir,  de matrices simétricas donde todo funciona de maravilla (siempre es posible encontrar los suficientes vectores propios y además se pueden tomar ortonormales)

Los alumnos no se habían dado cuenta. Veían la dificultad en resolver la ecuación de tercer trado principalmente, al parecer,  porque su profesor les había insistido en este punto... pero en ningún momento les había mencionado las palabras clave: valor y vector propio.  Ni siquiera polinomio característico de una matriz. Nada, eso debe ser de matemáticos pirados, cosas abstractas sin importancia alguna.

No lo entiendo, la verdad. ¿Por qué ese desprecio a las matemáticas? ¿Para luego decir que no las necesitan? ¿Para justificar aún más reducción en la próxima reforma? ¿Para escucharte eso de "yo les enseño lo que necesiten"? ¿O es que quizás el propio profesor no sabe qué está haciendo y se distrae en los detalles en lugar de concentrarse el problema así? Algo así como si, surgiéndole una derivada, se dedicara una hora a explicar por qué la derivada de $a^x$ es $\ln(a) a^x$

Sobre esto he de aclarar que no me gusta la postura de prepotencia tan habitual en mil gremio, el de los matemáticos, de nuestras ínfulas de grandeza y superioridad (aka ellos-no-tienen-ni-puta-idea). Personalmente me gusta en estos cursos adoptar una posición humilde: yo os enseño las matemáticas como instrumentos que luego utilizaréis, con el objeto de que cuando veáis materias nuevas y difíciles no encontréis tantos problemas en las matemáticas que las describen como en los conceptos en sí. Veo que da igual.

Algunas consideraciones para acabar:

a) Si hubiese trabajado con la matriz

\[
A=\begin{bmatrix} -1 &-2& 1\\ -2& 2& -2\\ 1 &-2& -1\end{bmatrix}
\]
(dividir la matriz original por 15) hubiera sido todo más fácil. Los números son más simples (valores propios -2 y 4)  y a los resultados obtenidos tan sólo habría vastado  bastado con multiplicarlos por 15 para recuperar la solución del problema original. Es fácil ver por qué esto es así... si sabes qué es un valor propio, claro.

b) Estoy curioso. ¿Cuándo la matriz sea 4 x 4 que se hará? ¿Recurrimos al métodode Ferrari? Ahora bien, si dan con el método general para una matriz 5 x 5 que de, ya no todas, sino una  sola solución utilizando radicales, me como el sombrero.  

c) He revisado con un poco de atención los detalles que da dicho profesor. Parecen estar bien, al menos tan bien como la wikipedia.

d) Igual podría darle la vuelta al problema, cómo se hace actualmente, y utilizar el cálculo de valores y vectores propios (método QR) como forma de resolver numéricamente el por otro lado insulso problema de calcular las raíces de un polinomio de grado n.

PS. Puestos a hacer matemáticas un poco inútiles (¡la solución de la ecuación polinómica de tercer grado!), hagámoslas recreativas. Con ustedes el Teorema de Thales y su demostración musical  al ritmo de Les Luthiers .